SOAL DAN PEMBAHASAN INDUKSI MATEMATIKA

 

 SOAL DAN PEMBAHASAN

       Tunjukkan bahwa untuk n ≥ 1,1 + 2+3+.......+n =n (n + 1)/2 melalui induksi matematika.

Penyelesaian.

     Andaikan bahwa p(n) menyatakan proposisi bahwa untuk  n ≥ 1,jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n ( n + 1)/2, yaitu 1 +  2+3+.......+n = (n + 1)/2.Kita harus membuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi.

Pertama: Basis  induksi; p (1) benar,karena untuk n = 1 kita proleh

                   1 =  (1 +1) / 2

                      = 1 (2) / 2

                      = 2/ 2

                      = 1

Kedua : Langkah induksi; Misalkan p (n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

                  1 + 2+3+.......+n = (n + 1)/2

               Adalah benar (hipotesisi induksi ). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar,yaitu

                          1 + 2+3+.......+n + (n + 1) = (n + 1)[(n + 1) + 1]/ 2

          Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa

        1 + 2+3+.......+n + (n + 1) = 1 + 2+3+.......+n )+ (n + 1)

                                                  =[n (n + 1) /2] +(n+1)                          

                                                  =[(n² + n)/ 2]+ (n+1)

                                                  =[(n² + n)/ 2]+[(2n + 2)/2]

                                                  =(n² +3 n + 2 )/ 2                     

                                                  =(n + 1)(n+ 2)/ 2

                                                  =( n+ 1 )[(n + 1) + 1]/2

                                                                                                                            

Karena langkah pertama dan kedua telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n,

terbukti bahwa semua  n ≥ 1,1 + 2+3+.......+n =n (n + 1)/2.